Il problema dell'integrazione numerica consiste nel determinare l'integrale di una certa funzione \(f(x)\) supponendo di non conoscere il valore della funzione ovunque ma solo in un certo numero finito di punti nodali. $$ \int_a^b f(x) dx = ? $$

Dalla teoria dell'interpolazione numerica, sappiamo che attraverso il polinomio interpolatore di Lagrange \(\Pi_n(x)\) riusciamo ad avere una funzione che cattura il comportamento nei punti oscuri ed inoltre passa per i punti nodali. Di conseguenza un modo per risolvere il problema dell'integrazione numerica consiste banalmente nel calcolare l'integrale sulla funzione interpolatrice di \(f\):

$$ \int_a^b f(x) dx \approx \int_a^b \Pi_n(x) dx $$ Regola del trapezio

La regola del trapezio si ottiene suddividendo l'intervallo di integrazione in \(n\) sottointervalli in ciascuno dei quali si opera un'approssimazione della funzione mediante un polinomio interpolatore di grado uno. L'integrale sarà dato dalla somma di ciascun integrale su ciascun sottointervallo \([x_{j-1}, x_j] \).

$$ \int_a^b f(x) dx \approx \sum_{j=1}^N \int_{x_{j-1}}^{x_j} \Pi_1(x) dx $$

Se consideriamo il generico sottointervallo \([x_{j-1}, x_j] \), il polinomio di lagrange di grado uno in questo sottointervallo sarà: $$ \Pi_1(x) = \sum_{i=j-1}^jy_i\prod_{k=j-1,k \neq i}^j{x-x_k \over x_i-x_k} $$ $$ \small = y_{j-1}\prod_{k=j-1,k \neq j-1}^j{x-x_k \over x_{j-1}-x_k} + y_{j}\prod_{k=j-1,k \neq j}^j{x-x_k \over x_{j}-x_k} = $$ $$ \small = y_{j-1}{x-x_j \over x_{j-1}-x_j} + y_{j}{x-x_{j-1} \over x_{j}-x_{j-1}} $$ calcolando l'integrale di questa quantità avremo: $$ \int_{x_{j-1}}^{x_j} \Pi_1(x) dx = y_{j-1}\int_{x_{j-1}}^{x_j}{x-x_j \over x_{j-1}-x_j}dx + y_{j}\int_{x_{j-1}}^{x_j}{x-x_{j-1} \over x_{j}-x_{j-1}}dx $$ Sapendo che la spaziatura del nostro intervallo è \(h = x_{j}-x_{j-1} \), possiamo riscrivere tutto come: $$ y_{j-1}\int_{x_{j-1}}^{x_{j-1}+h}{x-x_j \over h}dx + y_{j}\int_{x_{j-1}}^{x_{j-1}+h}{x-x_{j-1} \over h}dx = $$ $$ \small = {y_{j-1} \over h}\int_{x_{j-1}}^{x_{j-1}+h}x-x_j dx + {y_{j} \over h}\int_{x_{j-1}}^{x_{j-1}+h}x-x_{j-1} dx$$ $$ \small = {y_{j-1} \over h}\left[{x^2\over 2}-xx_j\right]_{x_{j-1}}^{x_{j-1}+h} + {y_{j} \over h} \left[{x^2\over 2}-xx_{j-1}\right]_{x_{j-1}}^{x_{j-1}+h} = $$ $$ \small = {y_{j-1} \over h}\left[{(x_{j-1}+h)^2\over 2}-(x_{j-1}+h)x_j -{(x_{j-1})^2\over 2}+(x_{j-1})x_j\right] + {y_{j} \over h} \left[{(x_{j-1}+h)^2\over 2}-(x_{j-1}+h)x_{j-1} - {(x_{j-1})^2\over 2}+(x_{j-1})x_{j-1}\right] $$ $$ \small = {y_{j-1} \over h}\left[ {x_{j-1}^2 + 2x_{j-1}h + h^2\over 2}-(x_{j-1}+h)x_j -{(x_{j-1})^2\over 2}+(x_{j-1})x_j\right] + {y_{j} \over h} \left[ {x_{j-1}^2 + 2x_{j-1}h + h^2\over 2}-(x_{j-1}+h)x_{j-1} - {(x_{j-1})^2\over 2}+(x_{j-1})x_{j-1}\right] = $$ $$ \require{cancel} $$ $$ \small = {y_{j-1} \over h}\left[ {\cancel{x_{j-1}^2} + 2x_{j-1}h + h^2 \bcancel{-2x_{j-1}x_{j}} - 2hx_{j} \cancel{-x_{j-1}^2} + \bcancel{2x_{j-1}x_j} \over 2}\right] + {y_{j} \over h} \left[ {\bcancel{x_{j-1}^2} + \xcancel{2x_{j-1}h} + h^2 \cancel{-2x_{j-1}^2} \xcancel{-2x_{j-1}h} \bcancel{- x_{j-1}^2} + \cancel{2x_{j-1}^2} \over 2} \right] = $$ $$ \small = {y_{j-1} \over h}\left[ { -2h(x_{j}-x_{j-1}) + h^2 \over 2}\right] + {y_{j} \over h} \left[ { h^2 \over 2} \right] = $$ $$ \small = {y_{j-1} \over h}\left[ { -h^2 \over 2}\right] + {y_{j} \over h} \left[ { h^2 \over 2} \right] = {(y_{j}-y_{j-1})h \over 2}$$

Possiamo quindi ora scrivere l’approssimazione per l’intero integrale: $$ \int_a^b f(x) dx \approx \sum_{j=1}^N{(y_{j}-y_{j-1})h \over 2} $$