Numeri Complessi | Giuseppe Sottile

Il primo esempio che studieremo è la trasformazione di un numero complesso dalla forma cartesiana alla forma trigonometrica. In questo caso sono note la parte reale ela parte immaginaria e dobbiamo ricavarci il modulo e l'argomento. Sia dato un numero complesso $ z = a+ib $. Delle formule di trasformazione, bisogna usare l'espressione per il modulo e per l'angolo:

$$ {\rho = \sqrt{a^2 + b^2}} $$

$$ { \theta = tan^{-1}\frac{b}{a}} $$

Nella sua forma più generale la trasformazione trigonometrica è descritta dalla seguente formula dove vengono "enucleati" il modulo e l'argomento:

$$ z = \sqrt{a^2 + b^2}\left(\cos\tan^{-1}\frac{b}{a} +i \sin\tan^{-1}\frac{b}{a}\right) $$

Vediamo ora come usare le formule su alcuni esempi numerici:

ESEMPIO 1

Sia dato il numero complesso: $$ {\large z = 1 + i }$$ Vogliamo trasformarlo in forma trigonometrica. Iniziamo a ricavarci il modulo $ |z| $ $$ |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $$ Ricaviamoci l'argomento $ \theta$ $$ \theta = tan^{-1}\frac{1}{1} = \frac{\pi}{4} $$ Quindi ricordando la forma trigonometrica possiamo scrivere:

$$ {\large z = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}) } $$

ESEMPIO 2

Sia dato il numero complesso: $$ {\large z = 2 - 4i }$$ Vogliamo trasformarlo in forma trigonometrica. Iniziamo a ricavarci il modulo $ |z| $ $$ |z| = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{20} $$ Ricaviamoci l'argomento $ \theta$ $$ \theta = tan^{-1}\frac{-4}{2} = \tan^{-1}(-2) $$ L'arcotangente di $-2$ non è un angolo noto quindi lasciamo l'espressione nella forma di $tan^{-1}(\cdot) $
Ricordando ora la forma trigonometrica possiamo scrivere:

$ z = \sqrt{20}(\cos\tan^{-1}(-2) + $ $ i\sin\tan^{-1}(-2)) $

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