Il prodotto scalare è un'operazione che prende due vettori $x$ ed $y$ di uno spazio vettoriale $V$ ed a questi associa uno scalare del campo $\mathbb K$. $$<,> : V \times V \rightarrow \mathbb K$$ Il prodotto scalare deve soddisfare alle seguenti proprietà:

• $\langle x, \alpha y + \beta z \rangle = \alpha\langle x, y\rangle + \beta\langle x, z\rangle$
• $\langle x, y \rangle = \langle x, y \rangle^*$
• $\langle x, x \rangle \geq 0$

$$\diamond\diamond$$ $$\diamond\diamond$$ $$\langle x, \alpha y + \beta z \rangle = \alpha\langle x, y\rangle + \beta\langle x, z\rangle$$ $$\langle \alpha x + \beta y, z \rangle = \alpha^* \langle x, z \rangle + \beta^* \langle y, z \rangle$$

Disuguaglianza di Schwarz

Consideriamo due vettori $x$ ed $y$ in $V$ ed un generico scalare $\alpha$. Calcoliamo il seguente prodotto scalare: $$\langle \alpha x +y, \alpha x +y \rangle \geq 0$$ $$\langle \alpha x +y, \alpha x +y \rangle = \alpha\langle \alpha x +y, x \rangle + \langle \alpha x +y, y \rangle =$$ $$= \alpha\alpha^*\langle x, x \rangle + \alpha\langle y, x \rangle + \alpha^*\langle x, y \rangle +\langle y, y \rangle \geq 0$$ Se ora scegliamo $\alpha = \rho e^{i arg(\langle x, y \rangle)}$:
$\langle \alpha x +y, \alpha x +y \rangle$ $= \rho e^{i arg(\langle x, y \rangle)} \rho^* e^{-i arg(\langle x, y \rangle)} \langle x, x \rangle +$ $\rho e^{i arg(\langle x, y \rangle)}\langle y, x \rangle + \rho^* e^{-i arg(\langle x, y \rangle)} \langle x, y \rangle + \langle y, y \rangle =$
$\rho\rho^*\langle x, x \rangle +2\rho|\langle x, y \rangle| + \langle y, y \rangle \geq 0$.
$$\rho^2\langle x, x \rangle +2\rho|\langle x, y \rangle| + \langle y, y \rangle \geq 0$$

Questa relazione è totlamente reale. Si tratta di un trinomio di secondo grado in $\rho$ al quale chiediamo di essere sempre $\geq 0$. Questo accade quando il suo discriminante è sempre negativo o al piu uguale a zero (dal momento che il coefficiente relativo la termine di grado massimo è sempre positivo $\langle x, x \rangle \geq 0$ ).

$$\Delta = b^2 - 4ac = \left( 2|\langle x, y \rangle| \right)^2 -4\langle x, x \rangle \langle y, y \rangle$$ $$|\langle x, y \rangle|^2 -\langle x, x \rangle \langle y, y \rangle \leq 0$$ $$|\langle x, y \rangle| \leq \sqrt{\langle x, x \rangle \langle y, y \rangle}$$ La relazione è chiamata Disuguaglianza di Schwarz:

$$\diamond\diamond$$

Disuguaglianza di Minkowsky

Consideriamo due vettori $x$ ed $y$ in $V$ (spazio euclideo con prodotto scalare $\langle,\rangle$ ):
Se consideriamo il prodotto scalare $\langle x + y, x + y \rangle$. Dalle proprietà del prodotto scalare avremo: $\langle x + y, x + y \rangle = \langle x + y , x \rangle + \langle x + y, y \rangle =$ $\langle x, x \rangle + \langle y, x \rangle + \langle x, y \rangle + \langle y, y \rangle =$ $\langle x, x \rangle + 2Re\{\langle x, y \rangle\} + \langle y, y \rangle$.

Dalla catena di maggiorazioni:

$\langle x, x \rangle + 2Re\{\langle x, y \rangle\} + \langle y, y \rangle \leq \langle x, x \rangle + 2|Re\{\langle x, y \rangle\}| + \langle y, y \rangle \leq$ $\langle x, x \rangle + 2| \langle x, y \rangle| + \langle y, y \rangle$

Per la Disuguaglianza di Schwarz:

$\langle x, x \rangle + 2| \langle x, y \rangle| + \langle y, y \rangle \leq \langle x, x \rangle + 2\sqrt{\langle x, x \rangle \langle y, y \rangle} + \langle y, y \rangle$

Questo trinomio è un quadrato, in particolare: $$\langle x, x \rangle + 2\sqrt{\langle x, x \rangle \langle y, y \rangle} + \langle y, y \rangle = \left(\sqrt{\langle x, x \rangle} + \sqrt{\langle y, y \rangle} \right)^2$$ Estraendo la radice quadrata arriviamo alla Disuguaglianza di Minkowsky: $$\sqrt{\langle x + y, x + y \rangle} \leq \sqrt{\langle x, x \rangle} + \sqrt{\langle y, y \rangle}$$ $$\square$$

$$\diamond\diamond$$

Sistema Ortogonale/Ortonormale

Due vettori $x$ ed $y$ sono ortogonali se e solo se $\langle x, y\rangle = 0$. Diretta conseguenza di questo fatto è il seguente corollario:

L'unico vettore ortogonale a tutti i vettori dello spazio è il vettore nullo

Se succede che $\forall y \in V$ il prodotto scalare $\langle x, y\rangle = 0$; allora questo significa che: $x = 0$ e viceversa.

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$$\Leftarrow$$

Supponiamo che $\langle 0, y\rangle = 0$, allora possiamo scrivere: $\langle (x-x), y\rangle = 0 = \langle x, y\rangle - \langle x, y\rangle$

$$\square$$

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$$\Rightarrow$$ Supponiamo che un vettore è ortogonale a tutti i vettori di $V$. In particolare sarà quindi ortogonale anche a se stesso: $\langle x, x\rangle = 0$, quindi $x=0$. $$\square$$

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Un sistema ($v_1, ...v_n$ ) è ortogonale se, presi due vettori a coppia (per qualsiasi coppia):

$$\langle v_i, v_j \rangle = 0, \hspace{1cm} (i\neq j)$$ Un sistema di vettori ortogonali senza il vettore nullo è un sistema linearmente indipedente, infatti una generica combinazione lineare nulla: $$\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i = 0$$ $$\downarrow$$ $$\langle v_j, \sum_{i=1}^n \alpha_iv_i\rangle = \langle v_j, 0\rangle = 0 = \sum_{i=1}^n\alpha_i\langle v_j, v_i\rangle$$ Siccome $\langle v_j, v_i\rangle \neq 0$ solo per $i=j$, di tutta la somma resterà solo $\alpha_j\langle v_i, v_i\rangle$, e siccome $\langle v_i, v_i\rangle \neq 0$, per la legge di annullamento del prodotto deve essere per forza $\alpha_j = 0$. $$\square$$