Facciamo un'applicazione della formula del rotore e calcoliamoci il rotore del rotore. Questo è possibile in quanto il rotore si può fare solo su campi vettoriali ed il rotore è un campo vettoriale. Cosa succede se ci calcoliamo il rotore di un campo \(F\) e poi ne rifacciamo il rotore? Quello che viene fuori è un pò laborioso e vi invito a provarci da soli... ; tuttavia la formula che ne viene fuori è molto importante perchè entra in scena un nuovo operatore!

Riprendiamo il solito campo vettoriale \( F : {\mathbb R}^3 \rightarrow {\mathbb R}^3 \). Il rotore di \( F \), come visto precedentemente è pari a:

$$ {\large \nabla \times F = \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \\ \end{matrix} \right| = rotF }$$ $$ {\large \nabla \times F = \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \\ \end{matrix} \right| = rotF }$$ $$ \nabla \times F $$ $$ \downarrow $$ $$ \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \\ \end{matrix} \right| $$ $$ \downarrow $$ $$ rotF $$

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$$ = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right)\hat{i} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right)\hat{j} + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)\hat{k} = $$ $$ = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right)\hat{i} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right)\hat{j} + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)\hat{k} = $$ $$ = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right)\hat{i} + $$ $$ + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right)\hat{j} + $$ $$ + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)\hat{k} $$ Dove nell'ultima espressione compaiono le componenti lungo le tre direzioni spaziali, riassumendo abbiamo che: $$ rot(F) = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) $$ $$ rot(F) = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) $$ $$ rot(F) $$ $$ \downarrow $$ $$ \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) $$ Adesso, per la gioia dei lettori, dobbiamo prendere le componenti del rotore e rifare lo stesso procedimento fatto per le componenti di \( F \) e qui si inizia a fare sul serio... Consideriamo le tre componenti e costruiamoci il determinane simbolico

$$ {\large \nabla \times (\nabla \times F) = \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} & \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} & \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \\ \end{matrix} \right| = rot(rotF) }$$ $$ {\large \nabla \times (\nabla \times F) = \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} & \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} & \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \\ \end{matrix} \right| = rot(rotF) }$$ $$ \nabla \times (\nabla \times F) $$ $$\downarrow $$ $$ \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} & \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} & \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \\ \end{matrix} \right| $$ $$\downarrow $$ $$ rot(rotF) $$

$$ = \left[ \frac{\partial}{\partial y}{\small \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) } - \frac{\partial}{\partial z}{\small \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) } \right] \hat{i} + $$ $$ + \left[ \frac{\partial}{\partial z}{\small \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) } - \frac{\partial}{\partial x}{\small \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) } \right] \hat{j} + $$ $$ + \left[ \frac{\partial}{\partial x}{\small \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) } - \frac{\partial}{\partial y}{\small \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) } \right] \hat{k} = $$ Arrivati a questo punto, abbiamo svolto buona parte del lavoro determinando le componenti di \(rot(rot(F)) \). Ciò che bisogna fare ora è riscrivere le componenti andando a valutare le derivate parziali nelle espressioni. Ricordo che nella formula del determinante simbolico , e naturalmente nei "sotto-determinanti simbolici" che si generano durante lo sviluppo di Laplace, quando si effettuano i prodotti in croce lungo le diagonali principale meno i prodotti lungo la diagonale secondaria, in realtà (come detto), non si tratta di veri prodotti algebrigi, ma bensì dell'applicazione dell'operatore di derivata parziale! Proseguiamo ora i calcoli e stiamo attenti alla notazione: (applicando due volte la derivata parziale stiamo facendo la derivata seconda): Ora, è questa è la parte in cui bisogna ragionare, infatti, se guardiamo alle componenti che abbiamo ottenuto, osserviamo che in ogni componente, manca la derivata parziale seconda rispetto alla componente stessa (es: lungo \( \hat{i} \) manca il termine \( \frac{\partial^2 F_x}{\partial x^2} \) mentre sono presenti gli altri in cui non compare la \(x \). Aggiungiamolo e sottraiamolo , ottenendo nella prima componente: $$ = \left[ \frac{\partial^2F_y}{\partial y\partial x} - \frac{\partial^2F_x}{\partial y^2} - \frac{\partial^2F_x}{\partial z^2} + \frac{\partial^2F_z}{\partial z\partial x} \color{#008080}{+ \frac{\partial^2F_x}{\partial x^2} - \frac{\partial^2F_x}{\partial x^2}} \right] \hat{i} + $$ Ripetiamo la stessa logica di ragionamento per le componenti \( y \) e \( z \): $$ + \left[ \frac{\partial^2F_z}{\partial z\partial y} - \frac{\partial^2F_y}{\partial z^2} - \frac{\partial^2F_y}{\partial x^2} + \frac{\partial^2F_x}{\partial x\partial y} \color{#008080}{+ \frac{\partial^2F_y}{\partial y^2} - \frac{\partial^2F_y}{\partial y^2}} \right] \hat{j} + $$ $$ + \left[ \frac{\partial^2F_x}{\partial x\partial z} - \frac{\partial^2F_z}{\partial x^2} - \frac{\partial^2F_z}{\partial y^2} + \frac{\partial^2F_y}{\partial y\partial z} \color{#008080}{+ \frac{\partial^2F_z}{\partial z^2} - \frac{\partial^2F_z}{\partial z^2}} \right] \hat{k} = $$ Questa "simmetria" nelle componenti deriva dalla struttura del rotore che vi ho fatto osservare quando vi ho parlato del rotore nell'articolo precendente. Se ora riordiniamo i termini nelle componenti, "questa simmetria" acquista un peso maggiore: (i colori nella formula non sono messi a caso): $$ = \left[ \color{#1c52ad}{ \frac{\partial^2F_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2F_y}{\partial x\partial y} + \frac{\partial^2F_z}{\partial x\partial z} } \right] \hat{i} - \left[ \color{#ad1c82}{ \frac{\partial^2F_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2F_x}{\partial y^2} +\frac{\partial^2F_x}{\partial z^2}} \right] \hat{i} + $$ $$ + \left[ \color{#1c52ad}{ \frac{\partial^2F_z}{\partial y\partial x} + \frac{\partial^2F_y}{\partial y^2} + \frac{\partial^2F_x}{\partial y\partial z} } \right] \hat{j} - \left[ \color{#ad1c82}{ \frac{\partial^2F_y}{\partial x^2} + \frac{\partial^2F_y}{\partial y^2} +\frac{\partial^2F_y}{\partial z^2}} \right] \hat{j} + $$ $$ + \left[ \color{#1c52ad}{ \frac{\partial^2F_x}{\partial z\partial x} + \frac{\partial^2F_y}{\partial z\partial y} + \frac{\partial^2F_z}{\partial z^2} } \right] \hat{k} - \left[ \color{#ad1c82}{ \frac{\partial^2F_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2F_z}{\partial y^2} +\frac{\partial^2F_z}{\partial z^2}} \right] \hat{k} = $$ Bene! siamo arrivati, finalmente alla fine, del nostro, spero, piacevole ragionamento. Tiriamo ora le conclusioni... Abbiamo ricavato le tre componenti di \( \nabla \times (\nabla \times F) \). Le parentesi quadre potrebbero trarre in inganno (le componenti non sono 6, ho messo in evidenza il segno - ed ho colorato i termini per ricavare la formula finale) infatti le uniche direzioni che compaiono sono sempre e solo \( \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \). Osserviamo attentamente la parte in azzurro a sinistra. Si tratta del gradiente della divergenza, infatti in ogni parte in blu si applica \( \frac{\partial}{\partial x_i} \)alla divergenza di \( F \). La cosa interessante è la parte in fucsia... in ogni componente \(i\) compare sempre la quantità \( \frac{\partial^2F_{x_i}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2F_{x_i}}{\partial y^2} +\frac{\partial^2F_{x_i}}{\partial z^2} \): se avete studiato la sezione in cui ne parlo, si tratta del laplaciano, solo che adesso compare lungo ogni componente, perciò si tratta di una forma piu generale di questo operatore che prende il nome di laplaciano vettore o laplaciano vettoriale; pertanto possiamo concludere il discorso con la seguente formula finale o nella notazione tradizionale