Consideriamo l'insieme delle funzioni continue e periodiche $C_{\small LOOP}[-\pi, \pi]$ nell'intervallo $[-\pi, \pi]$, cioè tale per cui $f(-\pi) = f(\pi)$. Consideriamo una funzione $f \in C_{\small LOOP}[-\pi, \pi]$, quasi ovunque derivabile tale che $f'\in L_2[-\pi, \pi]$. Per questa funzione scriviamo la somma parziale M-esima: Vogliamo dimostrare la convergenza uniforme della serie di fourier di $f$ ad $f$. $$S_M = \xi_0c_0 + \sum_{n=1}^M\biggl[\xi_n^c c_n + \xi_n^s c_s\biggr]$$ $$\Downarrow$$ $$S_M = {1\over 2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(y)dy + {1\over\pi}\sum_{n=1}^M\biggl[cos(nx)\int_{-\pi}^{\pi}cos(ny)f(y)dy + sin(nx)\int_{-\pi}^{\pi}sin(ny)f(y)dy\biggr] =$$ $$= {1\over 2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(y)dy + {1\over\pi}\sum_{n=1}^M\biggl[ \int_{-\pi}^{\pi}cos[n(x-y)]f(y)dy\biggr] =$$ Dalle formule di Eulero
per le funzioni trigonometriche possiamo scrivere: $$= {1\over 2\pi}\sum_{n=-M}^M\int_{-\pi}^{\pi}e^{in(x-y)}f(y)dy$$ $$\diamond$$
Nucleo di Dirichlet

Si definisce Nucleo di Dirichlet (di grado o ordine $M$) la seguente espressione: $$D_M(x-y) = {1\over 2\pi}\sum_{n=-M}^M\biggl(e^{i(x-y)}\biggr)^n$$ E' facile mostrare che valgono le seguenti proprietà:

• Funzione pari: $D_M(\zeta) = D_M(-\zeta)$
• Funzione periodica: $D_M(\zeta+2\pi) = D_M(\zeta)$
• Normalizzazione ad uno: $\int_{-\pi}^{\pi}D_M(\zeta) d\zeta = 1$

E possibile lavorare questa relazione
in modo da pervenire ad una forma piu compatta del nucleo: $$\small = {e^{-iM(x-y)}\over 2\pi}\sum_{n=1}^{2M}\biggl(e^{i(x-y)}\biggr)^n = {e^{-iM(x-y)}\over 2\pi}{1 - e^{-i(x-y)(2M+1)}\over 1 - e^{i(x-y)}}$$ $$= {1\over 2\pi}{1 - e^{-i(M+{1\over 2})(x-y)}e^{i(M+{1\over 2})(x-y)} \over e^{-{i\over 2}(x-y)} - e^{{i\over 2}(x-y)}} =$$ $$= {sin\left[(M+{1\over 2})(x-y)\right] \over sin\left[{x-y\over 2}\right]}$$ $$\diamond$$

Ritornando alla serie, possiamo scrivere la nostra $S_M(x)$ nel modo seguente: $$S_M(x) = \int_{-\pi}^{\pi}D_M(x-y)f(y)dy$$ Se calcoliamo la distanza: $$|f(x) - S_M(x)| = \left| f(x) - \int_{-\pi}^{\pi}D_M(x-y)f(y)dy \right| =$$ $$\small = \left| \int_{-\pi}^{\pi}D_M(x-y)f(x)dy - \int_{-\pi}^{\pi}D_M(x-y)f(y)dy \right| = \left| f(x) \overset{1}{\overbrace{\int_{-\pi}^{\pi}D_M(x-y)dy}} - \int_{-\pi}^{\pi}D_M(x-y)f(y)dy \right| =$$ $$= \left| \int_{-\pi}^{\pi}D_M(x-y)(f(x)-f(y)dy \right| =$$ Per la periodicità del nucleo e di $f$:
ponendo $z = y-x$ $$= \left| \int_{-\pi}^{\pi}D_M(z)(f(x)-f(z+x)dz \right| =$$ $$\small = \left| \int_{-\pi}^{\pi} {1\over 2\pi}{sin\left[(M+{1\over 2})z\right] \over sin\left[{z\over 2}\right]} \biggl(f(x)-f(z+x)dz \biggr)\right| =$$ $$\small = \left| \int_{-\pi}^{\pi} {1\over 2\pi}sin(Mz) { f(x)-f(z+x)\over tan\left({z\over 2}\right)}dz + \int_{-\pi}^{\pi} {1\over 2\pi}cos(Mz)\biggl(f(x)-f(z+x) \biggr)dz \right| \leq$$ $$\small \leq \left| \int_{-\pi}^{\pi} {1\over 2\pi}sin(Mz) { f(x)-f(z+x)\over tan\left({z\over 2}\right)}dz\right| + \left|\int_{-\pi}^{\pi} {1\over 2\pi}cos(Mz)\biggl(f(x)-f(z+x) \biggr)dz \right|$$ Questi due termini moduli si possono
interpretare come coefficienti di Fourier speciali: $${\sqrt\pi \over 2} |\Xi_M^S| + {\sqrt\pi \over 2} |H_M^C|$$ Siccome $\lim_{M\to\infty}\Xi_M^S = 0$ e $\lim_{M\to\infty}H_M^C = 0$ allora $\forall x \in[-\pi, \pi]$ sia che: $$\lim_{M\to\infty}|f(x)-S_M(x)| = 0$$ $$\square$$