Numeri Complessi | Giuseppe Sottile

Di solito è inusuale svolgere il prodotto quando due numeri sono in forma trigonometrica, perchè come vedremo per dimostrare la formula bisogna scomodare le formule di addizione e sottrazione. Ad ogni modo la regola finale da seguire risulta piuttosto semplice: si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti. Più avanti introdurremo la forma esponenziale che sarà molto più agevole per il calcolo di prodotti, quozienti, potenze e radici complesse. Tuttavia vediamo come si può effettuare il prodotto di due numeri complessi in forma trigonometrica.

Consideriamo due numero complessi $ z_1 = \rho_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1) $ e $ z_2 = \rho_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2) $

$z_1z_2 = \rho_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1) $ $ \rho_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2) = $

$ \rho_1\rho_2[\color{#008080}{ \underset{\large \cos(\theta_1+\theta_2)}{\underbrace{(\cos\theta_1\cos\theta_2 - \sin\theta_1\sin\theta_2)}}} $ $ + i\color{#005080}{ \underset{\large \sin(\theta_1+\theta_2)}{\underbrace{(\cos\theta_1\sin\theta_2 + \sin\theta_1\cos\theta_2 )}}}] $

Dalla trigonometria, anzi direi dalla goniometria; (in particolare dalle formule trigonometriche elementari) il termine in verde rappresenta il coseno della somma degli angoli, il termine in blue è invece il seno della somma degli angoli, possiamo quindi scrivere che:

$$ z_1z_2 = \rho_1\rho_2(\cos(\theta_1+\theta_2) + i \sin(\theta_1+\theta_2)) $$

Faccio osservare nuovamente che: quando si moltiplicano due numeri complessi in forma trigonometrica, il numero complesso risultante è ancora in forma trigonometrica, in particolare esso è costituito da un modulo (prodotto dei moduli) e da un argomento (somma degli argomenti). si può esprimere "simbolicamente" il prodotto nel seguente modo:

$$ z_1z_2 = |z_1z_2|(\cos \angle(z_1z_2)+i\sin\angle(z_1z_2)) $$

dove con il simbolo $ \angle(\cdot) $ mi riferisco all'argomento di un numero complesso e con il simbolo $ |\cdot| $ al suo modulo.