Consideriamo una funzione \( f \) di \(n \) variabili reali che indicheremo come \( f(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n ) \). una funzione siffatta è chiamata campo scalare reale perchè associa ad un vettore di \( {\mathbb R^n } \) un numero reale. $$ {\Large \color{#008080}{f: {\mathbb R^n} \rightarrow {\mathbb R} } }$$ Una nozione che ci servirà in seguito e che bisogna introdurre da subito per le sue molteplici applicazioni sia in campo matematico che fisico è il concetto di differenziale per una funzione di più variabili che descrive come varia la funzione quando facciamo variare a livello infinitesimo le variabili indipendenti. Consideriamo un punto \( P(x_{1,0}, x_{2,0}, x_{3,0}, \ldots, x_{n,0}) \) ove è definita la funzione. Se ci spostiamo da \( P \), di una quantità infinitesima \( dx = (dx_1, dx_2, dx_3, \ldots, dx_n) \), come varia la funzione? Come possiamo descrivere in termini di operatori tale variazione?

La formula del differenziale « totale » è la seguente: $$ df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + \frac{\partial f}{\partial x_3}dx_3 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n $$

Per interpretare tale formulazione, bisogna avere ben chiaro sia il concetto di derivata parziale in un punto sia l'interpretazione geometrica del differenziale monodimensionale. Cercherò tuttavia di essere il più chiaro possibile nella spiegazione che seguirà. Iniziamo!
La formula è una somma di termini in cui compare la derivata parziale rispetto ad una variabile \( x_i \) (calcolata nel punto \(P \)), moltiplicata per l'incremento infinitesimo lungo la medesima direzione \( dx_i \). Cosa rappresenta il prodotto di una derivata per l'incremento? Questo termine non è altro che il differenziale lungo \( x_i \). Quindi possiamo esprimere il differenziale della funzione come la somma dei differenziali lungo tutte le \( n \) direzioni.

Tuttavia, se ricordiamo la definizione di prodotto scalare, possiamo esprimere la formula del differenziale nella sua forma vettoriale: $$ df = \left\langle \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right), \left(dx_1, dx_2, \ldots, dx_n \right) \right\rangle $$ $$ df = \left\langle \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right), \left(dx_1, dx_2, \ldots, dx_n \right) \right\rangle $$ $$ df = < \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right), $$ $$ \left(dx_1, dx_2, \ldots, dx_n \right) > $$ in cui i vettori che compaiono sono il gradiente di \( f \) ed il vettore incremento dx. Possiamo esprime la formula in maniera compatta, facendo uso dell'operatore nabla (introdotto in analisi vettoriale) e del vettore incremento infinitesimo, nel modo seguente ed elegante:

$$ df = {\Large \left\langle \nabla f, dx \right\rangle } $$

Possiamo fare un'osservazione finale prima di chiudere questo articolo. Se ricordiamo, nel caso più semplice, per una funzione reale di variabile reale, il differenziale è dato dal prodotto della derivata per l'incremento della variabile indipendente: \( df = f'dx \). Nel caso generale cambia poco, anzi, la formula è identica, solo che la semplice derivata monodimensionale è ora sostituita dalla sua versione n-dimensionale: il gradiente, ed il prodotto è sostituito da un prodotto scalare tra vettori.