Nello schema per la derivata seconda ci servono almeno (2 punti). Nel caso dello schema centrato si effettua un passo a sinistra ed uno a destra. In pratica la formula generale della sommatoria assume la seguente forma: $$ {d^2y \over dx^2}\lvert_{x_j} = \sum_{i=-1}^{1} a_iy(x_{j+i}) + \epsilon(h^p) \hspace{2cm} (\heartsuit) $$ $$ \downarrow $$ $$ {d^2y \over dx^2}\lvert_{x_j} = a_{-1}y(x_{j-1}) + a_0y(x_{j}) + a_1y(x_{j+1}) + \epsilon $$

Come nel caso della derivata prima, gli sviluppi di Taylor della \(y\) a destra ed a sinistra sono rispettivamente i seguenti (ci arrestiamo in questo caso, nello sviluppo, al 4 termine perchè ci serve piu' informazione):

• \( y(x_{j-1}) = y_{j-1} = \left[ y_j -y_j'h +{1\over 2}y''_j h^2 -{1\over 6}y'''_j h^3 + {1\over 24}y''''_j h^4 + O(h^5) \right] \)
• \( y(x_{j+1}) = y_{j+1} = \left[ y_j +y_j'h +{1\over 2}y''_j h^2 +{1\over 6}y'''_j h^3 + {1\over 24}y''''_j h^4 + O(h^5) \right] \)

Se ora andiamo a sostituire questi sviluppi nella sommatoria generale \( (\heartsuit) \) otteniamo la seguente espressione: $$ \small {d^2y \over dx^2}\lvert_{x_j} = a_{-1}\left[ y_j -y_j'h +{1\over 2}y''_j h^2 -{1\over 6}y'''_j h^3 + {1\over 24}y''''_j h^4 + O(h^5) \right] + a_0y_{j} + a_1\left[ y_j +y_j'h +{1\over 2}y''_j h^2 +{1\over 6}y'''_j h^3 + {1\over 24}y''''_j h^4 + O(h^5) \right] + \epsilon $$ $$ \small {d^2y \over dx^2}\lvert_{x_j} = a_{-1}y_j - a_{-1}y_j'h + a_{-1}{1\over 2}y''_j h^2 -a_{-1}{1\over 6}y'''_j h^3 + a_{-1}{1\over 24}y''''_j h^4+ a_{-1}O(h^5) + a_0y_{j} + a_1y_j + a_1y_j'h + a_1{1\over 2}y''_j h^2 +a_1{1\over 6}y'''_j h^3+ a_{1}{1\over 24}y''''_j h^4+ a_{1}O(h^5) + \epsilon $$ Rielaborando (ossia, raggruppando \( y_j \), \(y'_j\) ecc), otteniamo: $$ \small {d^2y \over dx^2}\lvert_{x_j} = (a_{-1} + a_0 + a_1)y_j + (a_1 - a_{-1})y_j'h + (a_{-1} + a_1){1\over 2}y''_j h^2 + (a_1-a_{-1}){1\over 6}y'''_jh^3 + (a_1+a_{-1}){1\over 24}y''''_j h^4 + (a_{-1}+a_1)O(h^5) + \epsilon $$

In questa espressione per essere verificata i coefficienti \(a_{-1}\), \(a_0\) ed \( a_1 \) devono soddisfare al seguente sistema (questa volta è la derivata seconda che deve avere coefficiente 1): $$ \begin{cases} a_{-1} + a_0 + a_1 = 0 \\ a_1 - a_{-1} = 0 \\ a_1 + a_{-1} = {2 \over h^2} \\ \end{cases} \rightarrow \begin{cases} 2a_1 = -a_0\\ a_1 = a_{-1} \\ 2a_1 = {2\over h^2} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} a_0 = -2a_1 = -{2\over h^2} \\ a_{-1} = {1\over h^2} \\ a_1 = {1\over h^2} \end{cases} $$

Sostituendo i coefficienti nell'espressione, troviamo l'errore \( \epsilon\): $$ \small {d^2y \over dx^2}\lvert_{x_j} = (0)y_j + (0)y_j'h + {2 \over h^2} {1\over 2}y''_j h^2 + (0){1\over 6}y'''_jh^3 + {2 \over h^2} {1\over 24}y''''_j h^4 + {2 \over h^2} O(h^5) + \epsilon $$ $$ {d^2y \over dx^2}\lvert_{x_j} = y_j'' + {1\over 12}y''''_j h^2 + 2O(h^3) + \epsilon $$ E quindi l'errore ha una precisione \(p=2\) $$ \epsilon = -{1\over 12}y''''_j h^2 + O(h^3) $$

Ed in fine la formula dello schema centrato si ottiene, sostituendo il valore dei coefficienti nella formula generale \( (\heartsuit) \): $$ {d^2y \over dx^2}\lvert_{x_j} = a_{-1}y(x_{j-1}) + a_0y(x_{j}) + a_1y(x_{j+1}) + \epsilon $$ $$ \downarrow $$ $$ {d^2y \over dx^2}\lvert_{x_j} = {1\over h^2}y_{j-1} + -{2\over h^2}y_j + {1\over h^2}y_{j+1} + \epsilon(h^2) = {y_{j+1} - 2y_j +y_{j-1} \over h^2} + \epsilon(h^2) $$