Iniziamo in questo articolo l'argomento degli operatori differenziali vettoriali, introducendo l'operatore di base chiamato nabla o del ed indicato con il simbolo (delta rovesciato) \( \nabla \). Si tratta essenzialmente di un oggetto dalle mille sfaccettature e gli usi che ne vedremo sono tra i principali. Lo troviamo in elettromagnetismo, nella formulazione di quasi tutte le relazioni vettoriali ed in meccanica nella formulazione delle equazioni di Lagrange. Una delle caratteristiche di questo operatore è la sua invariaza per sistemi di riferimento, ovvero il fatto che la quantità espressa non dipende dal sistema di riferimento adottato , si tratta quindi di una quantità assoluta, ma di questo ne approfondiremo in geometria quando parleremo di sistemi di riferimento e metriche.

Diamo ora la definizione di nabla (per semplicità in coordinate cartesiane "rettangolari" in un 3-spazio euclideo), successivamente vedremo come definire nabla in coordinate sferiche e cilindriche: La definizione è la seguente: $${\large \color{#106070}{\nabla(\cdot) = \frac{\partial(\cdot)}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial(\cdot)}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial(\cdot)}{\partial z}\hat{k} }} $$ $${\large \color{#106070}{\nabla(\cdot) = \frac{\partial(\cdot)}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial(\cdot)}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial(\cdot)}{\partial z}\hat{k} }} $$ $$ \nabla(\cdot) $$ $$ \downarrow $$ $$ \frac{\partial(\cdot)}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial(\cdot)}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial(\cdot)}{\partial z}\hat{k} $$

Dalla definizione si osserva che se applichiamo nabla ad un campo scalare, esso lo trasforma in un vettore (campo vettoriale), le cui componenti sono proprio le derivate parziali del campo scalare(preso in input) lungo le tre direzioni spaziali.

La definizione generale per campi scalari in uno spazio ad \( n \) dimensioni la si può esprimere mediante il simbolo di sommatoria: $$ {\Large \nabla(\cdot) = \sum_{j=1}^n\frac{\partial(\cdot)}{\partial x_j}\hat{e_j} } $$

Curiosità: perchè il nome "nabla"

Sicuramente l'avrete usato tantissime volte, ma dopo tanto tempo ancora non vi è chiaro perchè si chiami proprio "nabla"! Da dove deriva tale determinazione? Ebbene, la storia risale all'antica grecia, in particolare alla musica; esisteva ed esiste tuttora uno strumento a corde, una sorta di mini-arpa di forma triangolare (che i greci chiamavano "salterio" mentre gli ebrei "neble"), che ha ispirato Maxwell nel 1837 insieme ad Hamilton a coniare il nome nabla.