Supponiamo di essere in uno spazio di Hilbert \(H\) e di considerare un suo sottospazio \(H' \subseteq H \). Definiamo il sottospazio ortogonale ad \(H'\) l'insieme di tutti i vettori tali che: $$ H'_\bot = \{x\in H: \langle x, y\rangle =0, \forall y\in H' \} $$

In sostanza ogni vettore \(x\) di \(H\) si puo scrivere in un unico modo come somma di un vettore di \(H'\) ed uno di \(H'_\bot\): $$ x = x' + x'_\bot $$ Naturalmente si ha che: \( \langle x', x'_\bot \rangle = 0\) $$ $$ Proiettore

Preso un generico vettore \( x \in H \), si definisce proiettore l'operatore che estrae da \(x\) la parte ortogonale che sta in \(H'\). Questo si scrive in questo modo: $$ P_{H'}x = x' $$

Idempotenza del proiettore

Il proiettore gode di una proprietà speciale chiamata idempotenza. In sostanza applicare il proiettore piu volte produce il medesimo effetto che applicarlo una sola volta. Ad esempio: $$ P_{H'}^2x = P_{H'}(P_{H'}x) = P_{H'}(x') = x' $$ piu in generale: $$ P_{H'}^nx = x' $$

L'effetto dell'idempotenza sullo spettro del proiettore dono le seguenti: Se considero un autovettore \(x_\lambda\) del proiettore allor sappiamo che: \( P_{H'}x_\lambda = \lambda x_\lambda \). Se facciamo agire due volte il proiettore abbiamo che: $$ P_{H'}^2x_\lambda = P_{H'}(P_{H'}x_\lambda) = P_{H'}(x_\lambda) = \lambda P_{H'}(x_\lambda) = \lambda^2 x' $$ $$ P_{H'}x_\lambda = \lambda x' $$ quindi: $$ \lambda^2 x' = \lambda x' $$ $$ (\lambda^2-\lambda) = 0 $$ Gli unici autovalori possibili per il proiettore sono \( \lambda_0 = 0, \lambda_1 = 1 \).

• \( \lambda_0 = 0 \): \(x_\lambda\) è tutto in \(H'_\bot\)
• \( \lambda_1 = 1 \): \(x_\lambda\) è tutto in \(H'\)