Prodotto Tensoriale tra due spazi vettoriali

Introduciamo una operazione fondamentale tra spazi vettoriali: il Prodotto Tensoriale o (Prodotto Tensore), indicata con il simbolo \( \large \otimes\). Consideriamo due spazi vettoriali \(V\) e \(W\) (supponiamo definiti sul campo reale) \(\mathbb K = \mathbb R \).

Lo spazio duale di uno spazio vettoriale è l'insieme di tutte le applicazioni lineari che associano ad ogni elemento dello spazio vettoriale un numero reale. Per definizione i duali di \(V\) e \(W\) sono: $$ V^* = \mathbb Hom(V, \mathbb R) \equiv \left\{\phi: V \rightarrow \mathbb R \right\} $$ $$ W^* = \mathbb Hom(W, \mathbb R) \equiv \left\{\psi: W \rightarrow \mathbb R \right\} $$

Costruiamo una funzione bilineare \(g: V \times W \rightarrow \mathbb R \), definita dal prodotto reale o complesso passando per il duale: $$ g(v, w) = \phi(v)\psi(w) \equiv \phi \otimes \psi \in \mathbb R $$ $$ \large \phi \otimes \psi $$

Osserviamo anzitutto che questo prodotto si effettua di modo che ciascuna funzione è applicata "al suo vettore" phi si applica a \(v\) mentre psi si applica a \(w\). Tutte le espressioni seguenti sono modi equivalenti di indicare il medesimo prodotto tensoriale: $$ g(v, w) \hspace{1cm} \phi(v)\psi(w) \hspace{1cm} \phi \otimes \psi(v, w) \hspace{1cm} \phi \otimes \psi $$

La funzione \(g\) è un oggetto appartenente all'insieme di tutte le funzioni bilineari, cioè di quelle funzioni lineari definite sul prodotto cartesiano \( V \times W \). E' facile convincersi, che un modo naturale di indicare questo spazio è \(V^* \otimes W^* \). In sostanza stiamo dicendo che il prodotto tensoriale produce un elemento \(\phi \otimes \psi \in V^* \otimes W^* \)

Mostriamo brevemente come agisce la bilinearità: Prendiamo una coppia di elementi \(\phi_1\) e \(\phi_2\) di \(V^*\) ed una coppia di elementi \(\psi_1\) e \(\psi_2\) di \(W^*\). Se \(\alpha\) e \(\beta\) sono numeri reali allora possiamo scrivere che:\( (\alpha\phi_1 + \beta\phi_2)\otimes \psi = \alpha\phi_1\otimes\psi +\beta\phi_2\otimes\psi \), lo stesso accade a sinistra: \( \phi \otimes (\alpha\psi_1 + \beta\psi_2) = \alpha\phi\otimes\psi_1 +\beta\phi\otimes\psi_2 \).

Prendiamo ora una base di \(V^*\): \(\{\phi^1, \phi^2, \ldots, \phi^n\}\), ed una base di \(W^*\): \(\{\psi^1, \psi^2, \ldots, \psi^m\} \). Valgono le decomposizioni \( \phi = \sum_i \alpha_i\phi^i \) e \( \psi = \sum_j \beta_j\psi^j \). Rieseguendo il prodotto tensoriale, ora, con gli elementi estrinsecati, otteniamo la seguente importante relazione: $$ \phi \otimes \psi = \left(\sum_i\alpha_i\phi^i\right) \otimes \left(\sum_j \beta_j\psi^j\right) = \sum_{i, j}\alpha_i\beta_j \phi^i\otimes\psi^j $$

La cosa interessante è che gli elementi bilineari dati dai prodotti tensoriali elementari \( \{\phi^i \otimes \psi^j\} \) degli elementi di base sono una base dello spazio delle forme bilineari \(V^* \otimes W^* \). In sostanza ogni elemento \(g \in V^* \otimes W^* \) si scrive in un unico modo come decomposizione \( \sum_{i, j}\alpha_i\beta_j \phi^i\otimes\psi^j \) con componenti \( \alpha_i\beta_j \); ed inoltre \( dim(V^* \otimes W^*) = dimV^* dimW^* \), e

Funzioni Trilineari

Per costruire una funzione trilineare, occorrono tre spazi vettoriali \(V, W, U\). I duali saranno rispettivamente \(V^*, W^*, U^*\). Costruiamo lo spazio vettoriale di tutte le funzioni trilineari \( g:V\times W \times U \rightarrow \mathbb R \in \mathbb Trilin(V, W, U)\). Il prodotto tensore di tre elementi duali \( \phi \in V^*\), \(\psi \in W^*\) e \(\xi \in U^*\) si definisce ponendo: $$ \phi\otimes\psi\otimes\xi = \phi(v)\psi(w)\xi(u) $$

In modo analogo, partendo dalle basi duali \( \{\phi^i\} \), \( \{\psi^j\} \), e \( \{\xi^k\} \), ogni forma trilineare si può scrivere in modo unico come combinazione lineare dei prodotti tensoriali elementari le cui componenti rispetto a tale base saranno \(g_{ijk} = \alpha_i\beta_j\gamma_k \). Indicheremo lo spazio di tutte le funzioni trilineari come prodotto tensore dei relativi spazi duali \(V^* \otimes W^* \otimes U^* \) e la dimensione sarà il prodotto delle dimesioni. $$ g = \sum_{i, j, k}\alpha_i\beta_j\gamma_k \phi^i\otimes\psi^j\otimes\xi^k $$
Funzioni Quadrilineari

Per costruire una funzione quadrilineare, occorrono quattro spazi vettoriali \(V, W, U, S\). I duali saranno rispettivamente \(V^*, W^*, U^*, S^*\). Costruiamo lo spazio vettoriale di tutte le funzioni quadrilineari \( g:V\times W \times U\times S \rightarrow \mathbb R \in \mathbb Quadrilin(V, W, U, S)\). Il prodotto tensore di quattro elementi duali \( \phi \in V^*\), \(\psi \in W^*\), \(\xi \in U^*\) e \(\zeta \in U^*\) si definisce ponendo: $$ \phi\otimes\psi\otimes\xi\otimes\zeta = \phi(v)\psi(w)\xi(u)\zeta(s) $$

In modo analogo, partendo dalle basi duali \( \{\phi^i\} \), \( \{\psi^j\} \), \( \{\xi^k\} \) e \( \{\zeta^l\}\), ogni forma quadrilineare si può scrivere in modo unico come combinazione lineare dei prodotti tensoriali elementari le cui componenti rispetto a tale base saranno \(g_{ijkl} = \alpha_i\beta_j\gamma_k\delta_l \). Indicheremo lo spazio di tutte le funzioni quadrilineari come prodotto tensore dei relativi spazi duali \(V^* \otimes W^* \otimes U^* \otimes S^*\) e la dimensione sarà il prodotto delle dimesioni. $$ g = \sum_{i, j, k, l}\alpha_i\beta_j\gamma_k\delta_l \phi^i\otimes\psi^j\otimes\xi^k\otimes\zeta^l $$

Algebra Tensoriale

Partendo da un generico spazio vettoriale \(V\) a dimensione finita, possiamo costruire altri spazi vettoriali attraverso il prodotto tensoriale (che possiamo vederlo come una macchinetta che genera nuovi spazi vettoriali di funzioni multilineari): Vediamo alcuni di questi spazi vettoriali

• \(V^* = \mathbb Hom(V, \mathbb R) \) (Spazio Duale - Funzioni Lineari)
• \(V \otimes V\)
• \(V \otimes V^*\)
• \(V^* \otimes V\)
• \(V^* \otimes V^*\) (Funzioni Bilineari)
• \(V \otimes V\otimes V\)
• \(V^* \otimes V\otimes V\)
• \(V \otimes V^*\otimes V\)
• \(V \otimes V\otimes V^*\)
• \(V^* \otimes V^*\otimes V\)
• \(V^* \otimes V\otimes V^*\)
• \(V \otimes V^*\otimes V^*\)
• \(V^* \otimes V^*\otimes V^*\) (Funzioni Trilineari)
• \(V \otimes V\otimes V\otimes V\)
• ecc.

Notazione ad indici

Un generico prodotto tensoriale, sarà indicato con la notazione \(\mathrm T^p_q(V)\) a significare che il prodotto è svolto \(p\) volte su \(V\) e \(q\) volte su \(V^*\), ad esempio:

$$ \mathrm T^0 \equiv \mathbb R $$ $$ \mathrm T^1 \equiv V $$ $$ \mathrm T^2 \equiv V \otimes V $$ $$ \mathrm T^p \equiv V \otimes V\otimes \ldots \otimes V\otimes V $$ $$ $$ $$ \mathrm T_0 \equiv \mathbb R $$ $$ \mathrm T_1 \equiv V^* $$ $$ \mathrm T_2 \equiv V^* \otimes V^* $$ $$ \mathrm T_q \equiv V^* \otimes V^*\otimes \ldots \otimes V^*\otimes V^* $$ Scriveremo in generale: $$ \mathrm T^p_q = \mathrm T^p \otimes \mathrm T_q \equiv (V \otimes V\otimes \ldots \otimes V\otimes V) \otimes (V^* \otimes V^*\otimes \ldots \otimes V^*\otimes V^*)$$

Introduciamo ora l'operazione di somma-diretta e costruiamo l'insieme \(\mathrm T(V)\). Essendo questo insieme, un contenitore di infiniti spazi vettoriali contenente anche le somme ed essendo munito del prodotto tensoriale, esso costituisce l'algebra tensoriale di \( V \). $$ \mathrm T(V) = \bigoplus_{p, q \geq 0} T^p_q(V) $$

Un elemento appartenente all'insieme \(T \in T^p_q(V)\) è detto tensore di tipo \((p,q)\) \(p\)-controvariante e \(q\)-covariante. Si tratta di una applicazione multilineare. (Ossevazione importante: nel dominio, \(p\) si riferisce al numero di volte in cui \(V^*\) è a prodotto cartesiano con se stesso, mentre \(q\) al numero di volte in cui lo è \(V\). Si invertono i ruoli come di consueto). $$ T: V^* \times V^*\times \ldots \times V^*\times V^* \times V \times V\times \ldots \times V\times V \rightarrow \mathbb R $$

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Contrazione

La contrazione è una operazione tra tensori. Prende un tensore di tipo \((p, q)\) e restituisce un tensore di tipo \( (p-1, q-1)\). La contrazione di tipo \(r-s\) si definisce nel modo seguente: $$ Con^r_s : T^p_q \rightarrow T^{p-1}_{q-1} $$ Per capire come essa agisce, vediamo cosa succede quando la applichiamo ad un prodotto tensoriale degli elementi di base dello spazio \(T^p_q(V) \): $$ \require{cancel} $$ $$ Con^r_s\left( v_{i1}\otimes \ldots \otimes v_{ip} \otimes v^{j1} \ldots \otimes v^{jq} \right) = $$ $$ = v^{js}(v_{ir}) v_{i1}\otimes \ldots \otimes \bcancel{v_{ir}} \otimes \ldots \otimes v^{j1} \otimes \ldots \otimes \bcancel{ v^{js}} \otimes \ldots \otimes v^{jq} $$ In sostanza si applica l'elemento \( v^{js} \) della base duale (essendo una funzione lineare) all'elemento della base \(v_{ir}\), e si elimina dal prodotto tensoriale. L'elemento ottenuto dall'applicazione è un numero reale \( v^{js}(v_{ir}) \in \mathbb R \). Da un punto di vista delle coordinate cartesiane, la contrazione consiste nell'eliminare una coppia di indici cosiddetti "contratti", ossia eguagliati (gli indici devono essere covarianti e controvarianti) dopodiché si opera una somma di einstein e gli indici spariscono: $$ T = \left( A^{i1, i2, \ldots, 1p}_{j1, j2, \ldots, jq} \right) \rightarrow Con^r_s\left( T \right) = $$ $$ = Con^r_s\left( A^{i1, i2, \ldots, 1p}_{j1, j2, \ldots, jq} \right) = A^{i1, i2, \ldots, i_{r-1}, h, i_{r+1}, \ldots, 1p}_{j1, j2, \ldots, j_{s-1}, h, j_{s+1}, \ldots, jq} $$

Consideriamo lo spazio ottenuto dal prodotto tensore \(V \otimes V^*\) Si tratta dello spazio degli endomorfismi su \(V \), ossia \(\mathbb Hom(V, V)\). Su questo spazio il generico tensore è dato dal prodotto degli elementi \(v_i\) e \(v^j\) (base diretta e base duale), il tensore sarà una combinazione di prodotti tensore elementari con dei coefficienti a due indici. (Matrici) $$ T = A^i_jv_i\otimes v^j $$ Indicheremo brevemente il tensore, dimenticandoci della base, come l'insieme delle sue componenti \( A^i_j \). Si tratta di un tensore di ordine 2 e di tipo \((1,1)\) "misto". Mostriamo che la contrazione di tipo \(1-1\) in questo spazio produce un numero reale, in particolare: $$ Con^1_1(T) = Con^1_1\left(A^i_jv_i\otimes v^j\right) = A^i_j\left(v_i\otimes v^j \right) = $$ $$ = A^i_j v^j(v_i) = A^i_j \delta^j_i = A^i_i = \mathbb Tr(A) $$ Abbiamo ottenuto la traccia della matrice. Questo mostra come la traccia sia un caso particolare della contrazione.

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Campo Tensoriale

Nella nostra definizione dei tensori, abbiamo adottato uno spazio vettoriale fissato \(V\); e su questo abbiamo eventualmente costruito altri spazi derivati, attraverso il prodotto tensore. Se consideriamo una varietà \( \mathcal M\) possiamo definire i nostri tensori sul fibrato vettoriale \(\mathcal E\) della varietà passando dalle sue fibre (ossia dagli spazi vettoriali su ciascun punto della varietà) $$ T^p_q(\mathcal E) = E \otimes \ldots \otimes E \otimes E^* \otimes \ldots \otimes E^* $$