Prendiamo anzitutto un operatore \(A\) su uno spazio vettoriale completo a dimensione infinita, ad esempio uno spazio di Banach o di Hilbert \(A: V \rightarrow V \), con \(dimV = \infty \): Se \(A\) è limitato, ossia "\( ||A||_{\mathcal L} < R \)", possiamo definire un nuovo operatore sottoforma di serie nel modo seguente: $$ f(A) = \sum_{n=0}^\infty a_nA^n $$ Questo nuovo operatore serie, è anch'esso limitato su \(V\), infatti, siccome \( \small ||A||_{\mathcal L} < R \)(raggio di convergenza della serie); la serie sarà fondamentale e quindi per la sua ridotta M-esima: \( \small s_M = \sum_{n=0}^M a_nA^n \) possiamo scrivere, supponendo \( \small M'>M \): $$ || S_M - S_{M'} ||_{\mathcal L} = \left|\left| \sum_{n=M+1}^{M'}a_nA^n \right|\right|_{\mathcal L} \leq \sum_{n=M+1}^{M'}|a_n| ||A^n||_{\mathcal L} \color{#009090}{\leq} \sum_{n=M+1}^{M'}|a_n| ||A||^n_{\mathcal L} $$

Dalla teoria delle serie di potenze, se quindi \( \small ||A||_{\mathcal L} < R\), la serie \( \small \sum_{n=0}^\infty|a_n| ||A||^n_{\mathcal L} \) sarà convergente e quindi fondamentale, cioè: $$ \forall \epsilon> 0 \hspace{2mm} \exists\hspace{1mm}m_\epsilon \in \mathbb N, \hspace{3mm} t.c. \hspace{2mm} \forall M, M' (M'>M) > m_\epsilon \hspace{4mm} \sum_{n=M+1}^{M'}|a_n| ||A||^n_{\mathcal L} < \epsilon $$ In sostanza la successione \( s_M = \sum_{n=0}^M a_nA^n \) è fondamentale tutte le volte che \( \small ||A||_{\mathcal L} < R\). Questo significa che la serie converge ad un operatore limitato. $$ f(A) = \sum_{n=0}^\infty a_nA^n \in \mathcal L(V, V) $$ $$ \diamond $$ $$ $$

Consideriamo un operatore \(A: V\rightarrow V\) generico (limitato o non limitato) con \( \lambda \in \mathbb K = \mathbb C, \mathbb R \). Si definisce operatore risolvente, il seguente operatore speciale: Al variare del parametro \( \lambda \in \mathbb C \) possono accadere sostanzialmente 3 cose (le prime due sono le uniche se lo spazio ha dimensione finita, la terza puo accadere solo a spazi a dim infinita).: $$ R_\lambda(A) = \biggl( \lambda\mathbb I - A \biggr)^{-1} $$

1. Risolvente esiste limitato
   In questo caso \( \lambda \) è un punto regolare di \(A\). Per trovare altri punti regolari di \(A\), se \(A\) è limitato, possiamo prendere tutti i \(\lambda\) tali che \(\lambda > ||A||_{\mathcal L} \) infatti: $$ R_\lambda(A) = \biggl( \lambda\mathbb I - A\biggr)^{-1} = {1\over \lambda}\left( \mathbb I-{A\over\lambda} \right)^{-1} $$ Facciamo vedere che l'operatore \( \small \left( \mathbb I-{A\over\lambda} \right)^{-1} \) è invertibile: $$ \left( \mathbb I-{A\over\lambda} \right)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty\left({A\over\lambda}\right)^n = \lim_{M\to\infty}\sum_{n=0}^M\left({A\over\lambda}\right)^n $$ Questa espressione è una funzione dell'operatore che corrisponde alla serie geometrica,
   che sappiamo essere convergente se il suo raggio ( \( \left|\left| {A \over \lambda} \right|\right| < 1\) ) $$ \small \lim_{M\to\infty}\left(\sum_{n=0}^M\left({A\over\lambda}\right)^n \left(\mathbb I -{A\over\lambda}\right)\right) = \ldots = \lim_{M\to\infty} \left(\mathbb I - \left({A\over\lambda}\right)^{M+1} \right) = $$ $$ = \mathbb I - \lim_{M\to\infty} \left({A\over\lambda}\right)^{M+1} = \mathbb I $$
$$ \diamond $$
2. Risolvente non esiste
   Questo significa che \( R_\lambda(A) = \biggl( \lambda\mathbb I - A \biggr)^{-1} \) non sarà invertibile. Quindi il nucleo di questo operatore contiene altri vettori oltre al vettore nullo (nucleo non banale). $$ \exists!\hspace{1mm}x_\lambda \in ker_{(\lambda\mathbb I - A)}, \hspace{3mm} t.c. \hspace{2mm} x_\lambda \neq 0 \hspace{2mm} t.c. $$ $$ (\lambda\mathbb I - A)(x_\lambda) = \lambda x_\lambda - A x_\lambda = 0 $$ $$ A x_\lambda = \lambda x_\lambda $$
   • \( \lambda \) si chiama autovalore dello spettro discreto.
   • \( x_\lambda \small \neq 0 \) si definisce autovettore di \(\lambda\).
$$ $$ $$ \diamond $$
3. Risolvente esiste non limitato (caso \(\infty\))
   \( \lambda \) sarà l'autovalore dello spettro continuo (senza autovettore associato).