Consideriamo una successione di numeri reali \( \{ x_n\}_{n\in N} \in \mathbb R\). Supponiamo che la successione sia convergente: \( \lim_{n\to \infty} x_n = x > 0 \).
Questo significa che esisterà un certo indice \(n\) di modo che per tutti i termini ad indice maggiore di \( n\) la successione prenderà il segno del limite. \(x_n >0\)
Primo teorema del confronto
Consideriamo tre successioni \( \{ x_n\}_{n\in N}\), \( \{y_n\}_{n\in N} \) e \( \{ z_n\}_{n\in N} \) di modo che valga la disuguaglianza: $$ x_n < y_n < z_n $$ Supponiamo inoltre che i limiti delle successioni estreme siano uguali ad un certo \(x\): $$\begin{cases} \lim_{n\to \infty} x_n = x \\ \lim_{n\to \infty} z_n = x \end{cases} $$ Allora anche il \( \lim_{n\to \infty} y_n = x \).
Infatti abbiamo che: $$\forall \epsilon > 0, \exists \nu_\epsilon^x, t.c. \forall n > \nu_\epsilon^x, ||x-x_n|| < {\epsilon \over 3}$$ $$\forall \epsilon > 0, \exists \nu_\epsilon^z, t.c. \forall n > \nu_\epsilon^z, ||x-z_n|| < {\epsilon \over 3}$$ Se prendiamo il $$ max\{\nu_\epsilon^x, \nu_\epsilon^z\} = \nu_\epsilon $$ Le due relazioni saranno soddisfatte contemporaneamente, quindi per tutti gli \(n > \nu_\epsilon \) avremo che: $$ |x-y_n| = |x-x_n + x_n - y_n| \overset{Minkowski}{\overbrace{\leq}} |x-x_n| + |x_n - y_n| $$ Siccome so che \( x_n < y_n < z_n \) allora avremo che: $$ |x-x_n| + |x_n - y_n| \leq |x-x_n| + y_n - x_n \leq |x-x_n| + |z_n - x_n| = $$ $$ |x-x_n| + |z_n -x +x - x_n| \overset{Minkowski}{\overbrace{\leq}} 2|x - x_n|+|z_n -x | \overset{n>\nu_\epsilon}{\overbrace{<}} 2{\epsilon \over 3} + {\epsilon \over 3} = \epsilon $$ $$ \square $$
Secondo teorema del confronto
Consideriamo due successioni \( \{ x_n\}_{n\in N}\), \( \{y_n\}_{n\in N} \). Se $$ x_n \leq y_n, \forall n \in N $$ Ed inoltre le successioni convergono ai limiti: $$\begin{cases} \lim_{n\to \infty} x_n = x \\ \lim_{n\to \infty} y_n = y \end{cases} $$ Allora \(x \leq y \)
Se fosse per assurdo \(x \geq y \) esisterebbe un \( \nu \in N \) \(t.c.\) \(\forall n > \nu \) avremo \( y_n - x_n \leq 0 \) $$ \square $$
Successione monotona limitata \( \Rightarrow \) Convergente
Consideriamo una successione monotona crescente ossia: \( \{ x_n\}_{n\in N}\), con \(x_{n+1} \geq x_n \) \(\forall n \in N \). Se è limitata superiormente. Allora è convergente
Sia \( X = \bigcup_n \{x_n\} \) l'insieme di tutti i termini della successione. Esso sarà un sottoinsieme di \( X \subseteq \mathbb R \) superiormente limitato (per ipotesi). $$ \exists \lambda \in \mathbb R, \lambda > x_n \forall n $$ Essendo \( \mathbb R \) completo ed essendo \(X\) suo sottoinsieme, esso ammetterà estremo superiore, cioè $$ \exists x \in \mathbb R $$ $$ x = sup(X) $$ Cioè: $$ \forall \epsilon > 0 \exists x_{\nu} t.c.$$ $$ x -x_{\nu} < \epsilon $$ Siccome \(x_n \geq x_\nu \forall n > \nu \) allora $$ x -x_{n} \leq x -x_{\nu} < \epsilon $$ $$ \square $$
