Giuseppe Sottile
COMPUTER ENGINEER AND GRAPHIC DESIGNER

Projects

In questa sezione riporto diversi progetti da me realizzati sia in ambito accademico che lavorativo. La sezione è in aggiornamento.$$ \diamond\diamond\diamond $$

IOT - Arduino - WebDesign - Graphical - Electronics - SoftwareEngineering - C\C++ - JAVA ... etc

View All »


GiuxLab

The Virtual Electronics and Physics laboratory of Giuseppe Sottile

Benvenuto nel mio laboratorio virtuale! Questo è lo spazio dove riporto le mie attività pratiche nel mondo dell'elettronica e della sperimentazione

Enter »

Report & Articles

Articoli, appunti e guide di informatica ed elettronica. Linguaggi e programmazione. Networking e sistemi GNU\Linux. Storia dell'informatica e scoperte scientifiche. Retrocomputing.

Articoli e guide recenti

View All »

Artworks

Introduce the visitor to the Graphic and WebDesign section.

$$ \diamond\diamond\diamond $$

Una delle attività principali che svolgo è la grafica in ambito web e business, molti dei lavori sono riportati in questa sezione del sito, tuttavia, rispetto ai dettagli implmentativi riportati nella pagina dei progetti, quì riporto i dettagli grafici.

La sezione è in aggiornamento e a breve sarà disponibile.


Videolezioni

Lista completa ordinata delle videolezioni

La lista è correlata al mio canale youtube divulgativo ufficiale - " PhysMath Academy

math & physic

In questa sezione espongo vari argomenti sia di fisica che di matematica in generale. Si tratta essenzialmente di una raccolta di esposizioni da me sviluppate nel corso degli studi che continuo tuttora progressivamente ad arricchire.

Entra nella sezione


Publications

Libri, ebooks e pubblicazioni varie

Gli ebooks nella lista fanno parte di una raccolta da me sviluppata

Enter »



Projects

In questa sezione riporto diversi progetti da me realizzati sia in ambito accademico che lavorativo. La sezione è in aggiornamento.

$$ \diamond\diamond\diamond $$

IOT - Arduino - WebDesign - Graphical - Electronics - SoftwareEngineering - C\C++ - JAVA ... etc

View All »


Report & Articles

Articoli, appunti e guide di informatica ed elettronica. Linguaggi e programmazione. Networking e sistemi GNU\Linux. Storia dell'informatica e scoperte scientifiche. Retrocomputing.

Articoli recenti

View All »


Artworks

Introduce the visitor to the Graphic and WebDesign section.

$$ \diamond\diamond\diamond $$

Una delle attività principali che svolgo è la grafica in ambito web e business, molti dei lavori sono riportati in questa sezione del sito, tuttavia, rispetto ai dettagli implmentativi riportati nella pagina dei progetti, quì riporto i dettagli grafici.

La sezione è in aggiornamento e a breve sarà disponibile.


math & physic

In questa sezione espongo vari argomenti sia di fisica che di matematica in generale. Si tratta essenzialmente di una raccolta di esposizioni da me sviluppate nel corso degli studi che continuo tuttora progressivamente ad arricchire.

Entra nella sezione


Publications

Libri, ebooks e pubblicazioni varie

Gli ebooks nella lista fanno parte di una raccolta da me sviluppata

Enter »


GiuxLab

The Virtual Electronics and Physics laboratory of Giuseppe Sottile

Benvenuto nel mio laboratorio virtuale! Questo è lo spazio dove riporto le mie attività pratiche nel mondo dell'elettronica e della sperimentazione

Enter »


Videolezioni

Lista completa ordinata delle videolezioni

La lista è correlata al mio canale youtube divulgativo ufficiale - " PhysMath Academy


Sulle funzioni Olomorfe
Una spolverata di analisi complessa I
di Giuseppe Sottile
22/03/2019


Funzioni olomorfe

Iniziamo questa sezione con l'oggetto del discorso: "la funzione olomorfa". Una funzione di questo tipo gode della semplice proprietà di essere derivabile in un insieme di punti del piano complesso. Se vi può sembrare banale, in campo complesso non è detto che una funzione sia derivabile come accade in ambito reale. Può accadere che una funzione complessa ammetta derivate diverse a seconda di come ci muoviamo "direzionalmente" nel dominio (ricordatevi che una funzione complessa è simile ad una funzione di 2 variabili e quindi ha senso spostarsi lungo direzioni a piacere nel piano). Sostanzialmente in campo complesso, quando una funzione è derivabile si dice che è olomorfa . La cosa interessante di queste funzioni è che una volta che esiste la derivata prima, automaticamente esistono tutte le infinite derivate di ordine superiore. Più in dettaglio una funzione complessa è derivabile in un punto \( z_0 \) se esiste il limite finito:

$$ \lim_{z\to z_0} {f(z)-f(z_0) \over z-z_0} $$ E si indica con una delle seguenti notazioni: $$ f'(z_0) \hspace{1cm} {df \over dz} \hspace{1cm} \left( {df \over dz} \right)|_{z=z_0} $$ Uno dei risultati fondamentali della teoria delle funzioni olomorfe, sono le Condizioni di Cauchy-Riemann, che stabiliscono come devono comportarsi le derivate parziali delle funzioni \( u\) e \( v\), affinché \( f\) sia derivabile: ve le presento: $$ \Large \begin{cases} {\partial u \over \partial x} = {\partial v \over \partial y} \\ {\partial u \over \partial y} = -{\partial v \over \partial x} \end{cases} $$

Per una funzione olomorfa valgono tutte una serie di proprietà molto belle, che spostano l'attenzione dei matematici su di esse, come ad esempio il fatto che una funzione olomorfa è continua ed il fatto (come già detto) che è infinitamente derivabile. Inoltre come vedremo più avanti una funzione olomorfa è sviluppabile in Serie di Taylor è più in generale in Serie di Laurent convergente in una corona circolare, a tal proposito è tipico chiamare queste funzioni con il nome "Funzioni Analitiche".

Funzioni Olomorfe

Trasformazione \( f(z) = z^2 \)


Funzioni Olomorfe

Curve di livello per \( f(z) = z^4 \)


Funzioni Olomorfe

Trasformazione \( f(z) = {1 \over z} \)




Proprietà delle funzioni olomorfe

Per le funzioni olomorfe, valgono le classiche proprietà di linearità, omogeneità, composizione ecc. Se \( f\) e \( g\) sono due funzioni olomorfe e \( \lambda \in \mathbb C \), allora valgono:

$$ {d \over dz}(f+g) = {d \over dz}f + {d \over dz}g $$
$$ {d \over dz}(\lambda f) = \lambda{df \over dz} $$
$$ {d \over dz}(fg) = {df \over dz} g + f {dg \over dz} $$
$$ {d \over dz}\left({f\over g}\right) = {{df \over dz}g - f{dg \over dz} \over g^2} $$
$$ {d \over dz}({f \circ g}) = {d g \over d f}{d f\over dz} $$
Osservate che si tratta delle stesse proprietà delle funzioni reali. In un certo senso, possiamo dimenticarci di essere in campo complesso ed operare come se stessimo usando funzioni reali, questa è una delle peculiarità delle funzioni olomorfe ed è uno dei motivi del perchè ci interessano e si studiano in analisi complessa.

$$ \diamond\diamond\diamond $$

Funzioni armoniche

Un'altra "impronta caratteristica" di una funzione olomorfa è il fatto che questa, o meglio, le sue parti: reale \( u\) ed immaginaria: \( v\) sono automaticamente armoniche. Una funzione è armonica quando è differenziabile sino al secondo ordine e soddisfa all'equazione di Laplace, ossia: $$ \Delta \Phi = 0 \hspace{2cm} \left({\partial \Phi\over \partial x}\right)^2 + \left({\partial \Phi\over \partial y}\right)^2 = 0$$ Dove con il simbolo \( \delta \equiv \nabla^2\) ci si riferisce al Laplaciano (oppure operatore di laplace), che in \( \mathbb R^2\) ad esempio vale: \( \left({\partial \over \partial x}\right)^2 + \left({\partial \over \partial y}\right)^2 \). Come esercizio di riscaldamento provate a dimostrare da voi la validità di questa affermazione, basta applicare le condizioni di Cauchy-Riemann (che ricordo, sono la carta d'identità delle funzioni olomorfe).

$$ \diamond\diamond\diamond $$

Applicazioni Conformi

Le funzioni olomorfe sono Applicazioni Conformi, detto in parole semplici "conservano gli angoli" a seguito di trasformazioni nel piano complesso. Queste trasformazioni, di solito sono omotetie, rotoomotetie... (quindi rotazioni e dilatazioni) o più in generale similitudini che si riassumono con la seguente equazione sui prodotti scalari. $$ {\langle u, v \rangle \over ||u|| ||v|| } = {\langle T(u), T(v)\rangle \over ||T(u)|| ||T(v)||} $$ Vi ricordo che in uno spazio vettoriale la formula per l'angolo tra due vettori è espressa dal rapporto tra il prodotto scalare dei due vettori fratto il prodotto delle loro norme.

Applicazione Conforme

Quando abbiamo una trasformazione è interessante studiare cosa accade in corrispondenza degli intorni dei punti (in termini di "areole" infinitesimali). Per attingere a queste ed a molte altre informazioni, abbiamo bisogno di uno strumento particolare detto Jacobiano della trasformazione. Lo Jacobiano è un determinante; in particolare è il determinante di una matice detta Matrice Jacobiana, che altro non è se non la "derivata della trasformazione", o, se vogliamo essere tecnici, dell'endomorfismo (in questo caso dal piano complesso in se \( \cdot : \mathbb C \rightarrow \mathbb C\) ). In formule, lo jacobiano si esprime come: $$ \hat J = det\mathrm J = |\mathrm J| = \left|{d(u, v) \over d(x, y)}\right| = \begin{vmatrix} {\partial u \over \partial x} & {\partial u \over \partial y} \\ {\partial v \over \partial x} & {\partial v \over \partial y} \end{vmatrix} $$ $$ \hat J = det\mathrm J = |\mathrm J| = \left|{d(u, v) \over d(x, y)}\right| = \begin{vmatrix} {\partial u \over \partial x} & {\partial u \over \partial y} \\ {\partial v \over \partial x} & {\partial v \over \partial y} \end{vmatrix} $$ $$ \hat J = det\mathrm J = |\mathrm J| = \left|{d(u, v) \over d(x, y)}\right| $$ $$ \downarrow $$ $$\begin{vmatrix} {\partial u \over \partial x} & {\partial u \over \partial y} \\ {\partial v \over \partial x} & {\partial v \over \partial y} \end{vmatrix} $$ Ora, l'algebra lineare ci insegna che lo jacobiano è un segnalatore di singolarità. Nei punti in cui è nullo succedono cose strane, la funzione fa i capricci. Le funzioni olomorfe però sono delle ottime alleate, infatti per esse lo jacobiano è sempre positivo (non si annulla mai naturalmente dove la derivata di \( f\) e' diversa da zero). Dalle condizioni di Cauchy-Riemann si ha: $$ \begin{vmatrix} {\partial u \over \partial x} & {\partial u \over \partial y} \\ {\partial v \over \partial x} & {\partial v \over \partial y} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} {\partial u \over \partial x} & -{\partial v \over \partial x} \\ {\partial v \over \partial x} & {\partial u \over \partial x} \end{vmatrix} = \left({\partial u \over \partial x}\right)^2 + \left({\partial v \over \partial x}\right)^2 = \left|{ df \over dx }\right|^2 > 0 \hspace{2mm}_\square $$ $$ \small \begin{vmatrix} {\partial u \over \partial x} & {\partial u \over \partial y} \\ {\partial v \over \partial x} & {\partial v \over \partial y} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} {\partial u \over \partial x} & -{\partial v \over \partial x} \\ {\partial v \over \partial x} & {\partial u \over \partial x} \end{vmatrix} = \left({\partial u \over \partial x}\right)^2 + \left({\partial v \over \partial x}\right)^2 = \left|{ df \over dx }\right|^2 > 0 \hspace{2mm}_\square $$ $$ \begin{vmatrix} {\partial u \over \partial x} & {\partial u \over \partial y} \\ {\partial v \over \partial x} & {\partial v \over \partial y} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} {\partial u \over \partial x} & -{\partial v \over \partial x} \\ {\partial v \over \partial x} & {\partial u \over \partial x} \end{vmatrix} $$ $$ \downarrow $$ $$\left({\partial u \over \partial x}\right)^2 + \left({\partial v \over \partial x}\right)^2 = \left|{ df \over dx }\right|^2 > 0 \hspace{2mm}_\square $$

Per adesso abbiamo solo scalfito la teoria delle funzioni complesse, l'argomento è molto vasto e ricco di concetti straordinari. Vi do appuntamento alla prossima puntata! $$ |the \cdot end| $$

Qubit & Computer Quantistici
CISF 2019 - Milano Politecnico | dipartimento di fisica

Qubit e Computer Quantistici di Giuseppe Sottile - CISF19 (Milano dipartimento di fisica Politecnico)


Open Courses
Work In Progress

Geometria & Algebra L.

Gli argomenti che affronteremo nel corso di queste lezioni rivestono un ruolo direi centrale in tutte le scienze tecniche applicate e non solo. L'algebra lineare trova impiego in ingegneria, fisica, matematica, specie in fisica moderna ad es. meccanica quantistica e teoria delle stringhe, dove riveste un ruolo centrale.

Reti Logiche

Nel corso di Reti logiche e calcolatori elettronici molti argomenti verranno trattati in questo corso, richiede molto impegno ma alla fine avrai un bagaglio consistente di nozioni tecniche sull'architettura dei calcolatori. Partiremo infatti dai fondamenti matematici fino a giungere alla costruzione di un vero e proprio calcolatore!

Trigonometria

Benvenuto nel mondo della trigonometria! questo è un corso che ha come obiettivo principale quello di approfondire tutti i concetti della trigonometria. Si tratta sostanzialmente di un corso completo di trigonometria per il liceo e per l'università. Gli argomenti vanno dalla misura degli archi fino alla trigonometria sferica.

Analisi Armonica | Teoria dei segnali Ingegneria del suono

Un viaggio nel fantastico mondo delle onde e dei segnali. Gli argomenti vanno dal trattamento matematico delle onde fino alla conversione nel mondo digitale. Un'ampia trattazione sviluppa l'argomento acustica e suoni, nel contesto della fisica dei suoni E dei metodi di conversione e campionamento.

Analisi Complessa

L'argomento in questione, fa parte di un settore molto avanzato della mtematica noto come Analisi Complessa. Si tratta di uno strumento di fondamentale importanza. Con i metodi dell'analisi complessa si basano molte teorie fisiche come la meccanica quantistica, la teoria delle stringhe, l'analisi armonica, solo per citarne alcune; inoltre è proprio qui che si può apprezzare la vera potenza dei numeri complessi

Analisi 2

Il mondo dell'analisi due, che ci vedrà padroni in queste disquisizioni è quello degli spazi vettoriali, dove \( \mathbb R^n \) sarà l'oggetto delle nostre chiacchierate, questo perchè le funzioni dell'analisi 2 sono funzioni a più variabili. I prerequisiti per affrontare Analisi 2 sono: Algebra Lineare e geometria e Analisi Uno.